DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
Hasta ahora hemos analizado distribuciones que modelizaban situaciones en las
que se realizaban pruebas que entrañaban una dicotomía (proceso de Bernouilli)
de manera que en cada experiencia la probabilidad de obtener cada uno de los dos
posibles resultados se mantenía constante. Si el proceso consistía en una serie
de extracciones o selecciones ello implicaba la reposición de cada extracción o
selección , o bien la consideración de una población muy grande. Sin embargo si
la población es pequeña y las extracciones no se remplazan las probabilidades
no se mantendrán constantes . En ese caso las distribuciones anteriores no nos
servirán para la modelizar la situación. La distribución hipergeométrica viene
a cubrir esta necesidad de modelizar procesos de Bernouilli con probabilidades
no constantes (sin reemplazamiento) .
La distribución hipergeométrica es
especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o
se realizan experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin
retornar a la situación experimental inicial.
Modeliza , de hecho, situaciones en las
que se repite un número determinado de veces una prueba dicotómica de manera
que con cada sucesivo resultado se ve alterada la probabilidad de obtener en la
siguiente prueba uno u otro resultado. Es una distribución .fundamental en el
estudio de muestras pequeñas de poblaciones .pequeñas y en el cálculo de
probabilidades de, juegos de azar y tiene grandes aplicaciones en el control de
calidad en otros procesos experimentales en los que no es posible retornar a la
situación de partida.
La distribución hipergeométrica puede
derivarse de un proceso experimental puro o de Bernouilli con las siguientes
características:
· El proceso consta de n pruebas , separadas o separables de entre un
conjunto de N pruebas posibles.
· Cada una de las pruebas puede dar únicamente dos resultados mutuamente
excluyentes: A y no A.
· En la primera prueba las probabilidades son :P(A)= p y P(A)= q ;con
p+q=l.
Las probabilidades de obtener un resultado A y de obtener un
resultado no A varían en las sucesivas pruebas, dependiendo de los resultados
anteriores.
· (Derivación de la distribución) . Si estas circunstancias a leatorizamos
de forma que la variable aleatoria X sea el número de resultados A obtenidos en
n pruebas la distribución de X será una Hipergeométrica de parámetros
N,n,p así
Un típico caso de aplicación de este modelo es el siguiente :
Supongamos la extracción aleatoria de n elementos de un conjunto formado por N
elementos totales, de los cuales Np son del tipo A y Nq son del tipo
(p+q=l) .Si realizamos las
extracciones sin devolver los elementos extraídos , y llamamos X. al número de
elementos del tipo A que extraemos en n extracciones X seguirá una distribución
hipergeométrica de parámetros N , n , p
Función de cuantía.
La función de cuantía de una distribución
Hipergeométrica hará corresponder a cada valor de la variable X (x = 0,1,2, . .
. n) la probabilidad del suceso "obtener x resultados del tipo A ", y
(n-x) resultados del tipo no A en las n pruebas realizadas de entre las N
posibles.
Veamos :
Hay un total de
formas distintas de obtener
x resultados del tipo A y n-x del tipo
,
si partimos de una población formada por Np elementos del tipo A y Nq elementos
del tipo
Por otro lado si realizamos n pruebas o extracciones hay un total de
posibles muestras ( grupos de
n elementos)
aplicando la regla de Laplace tendríamos
que para valores de X comprendidos entre el conjunto de
enteros 0,1,…. .n será la expresión de la función de cuantía de una
distribución , Hipergeométrica de parámetros N,n,p .
Media y varianza.
Considerando que una variable
hipergeométrica de parámetros N, n, p puede considerarse generada por la
reiteración de un proceso dicotómico n veces en el que las n dicotomías NO son
independientes ; podemos considerar que una variable hipergeométrica es la suma
de n variables dicotómicas NO independientes.
Es bien sabido que la media de la suma de
variables aleatorias (sean éstas independientes o no) es la suma de las medias
y por tanto la media de una distribución hipergeométrica será , como en el caso
de la binomial :
En cambio si las variables sumando no son independientes la
varianza de la variable suma no será la suma de las varianzas.
Si se evalúa el valor de la varianza para
nuestro caso se obtiene que la varianza de una distribución hipergeométrica de
parámetros N,n,p es : si
Esta forma resulta ser la expresión de la
varianza de una binomial (n, p) afectada por un coeficiente corrector [N-n/N-1]
, llamado coeficiente de exhaustividad o
Factor
Corrector de Poblaciones Finitas (F.C.P.F.) y que da cuenta del
efecto que produce la no reposición de los elementos extraídos en el muestreo.
Este coeficiente es tanto más pequeño
cuanto mayor es el tamaño muestral (número de pruebas de n ) y puede
comprobarse como tiende a aproximarse a 1 cuando el tamaño de la población N es
muy grande . Este último hecho nos confirma lo ya comentado sobre la
irrelevancia de la reposición o no cuando se realizan extracciones sucesivas
sobre una población muy grande. Con una población muy grande se cual fuere el
tamaño de n , el factor corrector sería uno lo que convertiría , en cierto modo
a la hipergeométrica en una binomial (ver D. Binomial) . Así
Límite de la distribución hipergeométrica
cuando N tiende a infinito.
Hemos visto como la media de la
distribución hipergeométrica [H{N,n,p)], tomaba siempre el mismo valor que la
media de una distribución binomial [B{n,p)] también hemos comentado que si el
valor del parámetro N crecía hasta aproximarse a infinito el coeficiente de
exhaustividad tendía a ser 1, y, por lo tanto, la varianza de la
hipergeométrica se aproximaba a la de la binomial : puede probarse asimismo ,
cómo la función de cuantía de una distribución hipergeométrica tiende a
aproximarse a la función de cuantía de una distribución binomial cuando
Puede comprobarse en la representación gráfica de una
hipergeométrica con N =100000 como ésta ,es idéntica a la de una binomial con
los mismos parámetros restantes n y p , que utilizamos al hablar de la
binomial
Moda de la distribución hipergeométrica
De manera análoga a como se obtenía la
moda en la distribución binomial es fácil obtener la expresión de ésta para la
distribución hipergeométrica. De manera que su expresión X0 sería la del
valor o valores enteros que verificasen.
