Area bajo la curva

 AREAS BAJO LA CURVA NORMAL

Conceptos preliminares:La Distribución Normal:

Es una distribución cuyas variables aleatorias pueden tomar un número infinito deposibles valores, o cuyas diferencias entre si pueden ser infinitesimales; por lo tanto esuna distribución continua, ya que sus variables pueden medirse con el grado deprecisión que se desee.Algunos ejemplos de variables continuas son las medidas de:. Tiempo (años, meses, días, horas, minutos, segundos, etc.). Distancia (Km, metros, centímetros, milímetros, etc.). Estatura. Peso. Coeficiente intelectual CI (IQ)

Importancia de la Distribución Normal:

•

Existen numerosas variables que parecen seguir una forma similar a ladistribución normal (pesos, alturas, coeficientes intelectuales, calificaciones enexámenes, etc.)

•

La distribución muestral de muchos estadígrafos muestrales como la mediatienen una distribución aproximadamente normal e independiente de laconfiguración de la población, si los datos son suficientemente numerosos.

•

Es una excelente aproximación a otras distribuciones muestrales como la dePoisson y Binomial, por ejemplo.

•

La Función Normal: 

Es una curva lisa, de forma acampanada y unimodal como se presenta en la figura 1.1

Se dice que una variable x numérica de experimentación con media aritmética probabilística

 x

 µ 

y desviación estándar probabilística positiva

 x

σ   

sigue una distribución normal o es una variable normal si tiene definida una función densidad de probabilidad dada por (1.2). En este caso su probabilidad rayo del tipo

≤

k está dada por (1.3).

 

En las fórmulas anteriores intervienen las siguientes constantes:

π  

Aproximadamente 3.141592

e

Aproximadamente 2.718281

 x

σ   

Parámetro desviación estándar probabilística de x (variables normales diferentes pueden tener distintas desviaciones estándar probabilísticas, pero para cada variable normal, su desviación estándar probabilística es constante).

 x

 µ 

Parámetro media aritmética de probabilística de x (variables normales diferentes pueden tener distinta medias aritméticas probabilísticas, pero para cada variable normal su media aritmética probabilística es constante).

Distribución Normal Estandar o Tipificada

Una variable de experimentación es estándar o tipificada si su media aritmética probabilística es cero (0) y su desviación estándar probabilística es uno (1). Si una variable de experimentación x es normal y tipificada, su función de densidad de probabilidad se denomina normal estándar o normal tipificada y se ajusta a la fórmula(1.4)

*Curva Normal Tipificada (lo que interesa) 

Con el fín de suprimir la individualidad de cada una de las distribuciones señaladas gráficamente, se convierte a la curva normal, en un modelo matemático con características fijas y definidas y así se hace posible el cálculo de probabilidades. Este proceso se conoce con el nombre de

tipificación de la curva normal.

Para lo cual se supone. a) La media o promedio de la población es cero

 µ 

=0b) La desviación estándar igual a uno

c) La variable independiente x, se transforma en un valor

z.-3 -2 -1 0 1 2 3

Desviación normal estándar (Formulas de utilización)

Fórmulas de cálculo se reproducen a continuación como las fórmulas (1.5) y (1.6).

Característica de la curva normal tipificada

a)Es simétrica respecto a su media (50% a la derecha y 50% a la izquierda de lamedia)b)El área encerrada es 1 o 100%c)La media, mediana y moda son iguales

Ejemplo:

1)

En la Universidad del Oeste, la calificación promedio sobre una escala vigesimalobtenida por un estudiante elegido al azar es una variable de experimentacióncon media aritmética probabilística 14 y desviación estándar probabilística 2,cuya distribución de probabilidad se aproxima a la normal. Estime lasprobabilidades de que una calificación x escogida al azar sea:

a)≤13 : 

b)>13;

c)≤17 ;

d)>17 ;

e)>13

pero≤17 ;

f)≤13 ó >17 ;

g)>15 pero <=17 

Solución:

A partir de los datos: a=13; b=17;

 x

 µ 

=14 y

 x

σ   

=2 se obtiene las siguientes respuestas:

a.

P(x<=13)

caso3

5.021413

−=−=−=

 x xa

 x z 

σ  µ 

P(x<=13)=P(z<=-0.5)

≈

0.3085

b.

P(x>13

P(x>13)=1-P(x<=13)=1.0-0.3085P(x>13)=0.6915

c.

P(x<=17)

caso1

5.121417

=−=−=

 x xc

 x z 

σ  µ 

P(x<=17)=P(z<=1.5)

≈

0.9332

d.

P(x>17)

caso2

P(x>17)=1-P(x<=17)=1-0.9332P(x>17)=0.0668

e.

P(13<x<=17)

caso4

5.0

−=

a

 z 

5.1

=

b

 z 

P(13< x<=17)=P(-0.5<z<=1.5)P(13< x<=17)=0.9332-0.3085=0.6247

f.

P(x<=13 ó x>17)

caso7 

P(x<=13 ó x>17)= P(x<=13)+ P(x>17)P(x<=13 ó x>17)= P(z<=-0.5)+P(x>=1.5)P(x<=13 ó x>17)= P(z<=-0.5)+1- P(x<=1.5)P(x<=13 ó x>17)=0.3085+1-0.9332P(x<=13 ó x>17)=0.3753

g.

P(15<z<

=17

)

caso5 =

P(z<=17)-P(z<15)=0.9332-0.6914=0.2417

Ejemplo

La capacidad de gasto anual en actividades educativas de una familia elegidaaleatoriamente de una población universitaria del departamento de Lima es unavariable de experimentación con media aritmética probabilística 400 um y desviaciónestándar probabilística 100 um, cuya distribución de probabilidades es muyaproximada a la normal. Se requiere estimar el importe tal que exista 88.1% deprobabilidades de que la familia elegida aleatoriamente gaste como máximo talcantidad.

 x

 µ 

=400

 x

σ   

=100P(z)=88.1%

=0.8810.881=(x-400)/100X=488.1 Respuesta el importe debe ser <=488.1

PROBLEMAS PROPUESTOS

1)El consumo mensual en um de una persona elegida aleatoriamente a partir de la poblaciónde un país es una variable normal con media aritmética probabilística 500 um y desviaciónestándar probabilística 100 um. ¿Cuál es el nivel tal que exista 76.73% de probabilidad deque dicha variable supere tal nivel? 

500

=

 x

 µ 

100

=

 x

σ  

z=0.76730.73=(x-500)/100 x=573Respuesta: Para la variable que sea >= que 573 um

 

2)

La posición sanguínea sistólica media de hombres de 20 – 24 años de edad es 123 conuna desviación típica de 137 se sabe que la presión sanguínea se distribuye normalmente.Si se selecciona al azar uno de estos hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que su presiónsanguínea sea mayores que 139.44P(x>139.44)=P(z>

13712344.139

−

)=P(z>0.12)=P(1-P(z<=0.12)=1-0.5478=0.45223)Del problema anterior ¿Cuál es la probabilidad de que su presión sanguinea sea menoresque 110 

)137123110()110(

−<=<

z  P  x P 

=P(z<-0.098)=0.4920

4)

Los coeficientes de inteligencia CI de las personas tienen una distribución aproximada a lanormal con media 100 y desviación estándar 10. ¿Cuál es la probabilidad que el CI decualquier individuo quede en el intervalo 100 a 110? 

100

=

 x

 µ 

10

=

 x

σ  

Piden: P(100<x<110)P(100<x<110)=P(

1010011010100100

−<<−

 z 

)=P(0<z<1)P(0<z)=1-P(z<0)=1-0.5=0.5P(z<1)=0.5398 

⇒

0.5398-0.5=0.0398P(100<x<110)=0.03985)Para cierta prueba la calificación media es 500 y desviación típica 100. Se desea aprobar al 75% de los candidatos que rinden esta prueba. ¿Cuál debe ser la calificación mínimaaprobatoria? 

500

=

 x

 µ 

100

=

 x

σ  

z=0.75

⇒

25.0

=

c

 z 

P(

c

 z 

< 

100500

−

 x

)=-0.25 = -0.68 por tablax-500=-0.25*100 x=4326)La vida útil de un componente eléctrico tiene una distribución normal con una media de2000 horas que una desviación estándar de 200 horas. ¿Cuál será la probabilidad de queun componente elegido al azar dure entre 1800 y 2200?(1800<=x<=2200)= P

−≤≤−

20022002001800

u z u

=P(-1<=z<=1)=P(z<=1)-P(z<=-1)=2(0.84134)-1=0.68268 7)Del problema anterior ¿Cuál es la vida útil del 90% de los componentes elécticos?X: Vida útil del complemento electronicoP(x<=A)=P(

200200

−≤

A z 

)=0.9

0

 Z 

28.1200200

=−≤

A

A=22568)Los pesos de los paquetes recibidos en un almacén tiene una media de 300 libras, con unadesviación Standard de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que 25 paquetes puestos al azar excedan el límite de seguridad de éste que es de 8200 libras?

Resolucion

Limite superior 8200u=300 n=25

50

=

σ 

25-300=7500 Los que se van a poner en el ascensor  

102550

===

n

σ σ 

25025*10

==

n

σ 

8.225070025075008200

==−=

 z 

P(z>70)=0.5-0.4974=0.0026La probabilidad que se rompa es 0.0026

9)

Ciertos focos fabricados por una compañía, tiene una duración media de 800 horas y unadesviación típica de 60 horas. Hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 16tubos tomada de entre ellos tenga una duración de entre 790 y 810 horas?.u=800

60

=

σ 

1660

=

 x

σ 

=15 

67.015800792

1

−=−=

 z 

67.015800810

2

=−=

 z 

P(-0.67<=z<=0.67)=2(0.2486)=0.4972

10)

Del problema anterior hallar la probabilidad de que una muestra al azar de 16 tubostomada menor de 785 horas. 

115800785

−=−=

 z 

P(z<=-1)=0.5-0..3413=0.1587

Distribución Hipergeometrica

Distribución hipergeométrica

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada conmuestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, dpertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x () elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

Propiedades[editar]

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

donde  es el tamaño de población,  es el tamaño de la muestra extraída,  es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y  es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación  hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar  elementos de un total .

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

y su varianza,

En la fórmula anterior, definiendo

y

se obtiene

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

Distribución hipergeometrica

Distribución hipergeométrica

En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada conmuestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, dpertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x () elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.

Propiedades[editar]

La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a

donde  es el tamaño de población,  es el tamaño de la muestra extraída,  es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y  es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación  hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar  elementos de un total .

El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es

y su varianza,

En la fórmula anterior, definiendo

y

se obtiene

La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.

Esperanza Matematica

Esperanza Matemática

La esperanza matemática o valor esperado de una variable aleatoria discreta es la suma del producto de la probabilidad de cada suceso por el valor de dicho suceso.

Los nombre de esperanza matemática y valor esperadotienen su origen en los juegos de azar y hacen referencia a la ganancia promedio esperada por un jugador cuando hace un gran número de apuestas.

Si la esperanza matemática es cero, E(x) = 0, el juego es equitativo, es decir, no existe ventaja ni para el jugador ni para la banca.

Ejemplos

Si una persona compra una papeleta en una rifa, en la que puede ganar de 5.000 € ó un segundo premio de 2000 € con probabilidades de: 0.001 y 0.003. ¿Cuál sería el precio justo a pagar por la papeleta?

E(x) = 5000 · 0.001 + 2000 · 0.003 = 11 €

Un jugador lanza dos monedas. Gana 1 ó 2 € si aparecen una o dos caras. Por otra parte pierde 5 € si no aparece cara. Determinar la esperanza matemática del juego y si éste es favorable.

E = {(c,c);(c,x);(x,c);(x,x)}

p(+1) = 2/4

p(+2) = 1/4

p(−5) = 1/4

E(x)= 1 · 2/4 + 2 · 1/4 - 5 · 1/4 = −1/4. Es desfavorable

Distribución binomial

Una distribución binomial o de Bernoulli tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.

2.La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3.La probabilidad de fracaso también es constante, Se representa por q,

q = 1 − p

3.El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

5.La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n.

La distribución bimomial se expresa por B(n, p)

Cálculo de probabilidades en una distribución binomial

n es el número de pruebas.

k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito.

q es la probabilidad de fracaso.

El número combinatorio 

Ejemplo

La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?

n = 4

p = 0.8

q = 0.2

B(4, 0.8)

2.¿Y al menos 2?

Parámetros de la distribución binomial

Media

Varianza

Desviación típica

Ejemplo

La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.