Conceptos preliminares:La Distribución Normal:
Es una distribución cuyas variables aleatorias pueden tomar
un número infinito deposibles valores, o cuyas diferencias entre si pueden ser
infinitesimales; por lo tanto esuna distribución continua, ya que sus variables pueden
medirse con el grado deprecisión que se desee.Algunos ejemplos de variables
continuas son las medidas de:. Tiempo (años, meses, días, horas, minutos,
segundos, etc.). Distancia (Km, metros, centímetros, milímetros, etc.).
Estatura. Peso. Coeficiente intelectual CI (IQ)
Importancia de la Distribución Normal:
•
Existen numerosas variables que parecen seguir una forma
similar a ladistribución normal (pesos, alturas, coeficientes
intelectuales, calificaciones enexámenes, etc.)
•
La distribución muestral de muchos estadígrafos muestrales
como la mediatienen una distribución aproximadamente normal e
independiente de laconfiguración de la población, si los datos son
suficientemente numerosos.
•
Es una excelente aproximación a otras distribuciones
muestrales como la dePoisson y Binomial, por ejemplo.
•
La Función Normal:
Es una curva lisa, de forma acampanada y unimodal como se
presenta en la figura 1.1
Se dice que una variable x numérica de
experimentación con media aritmética probabilística
x
µ
y desviación estándar probabilística positiva
x
σ
sigue una distribución normal o es una variable normal
si tiene definida una función densidad de probabilidad dada por (1.2). En este
caso su probabilidad rayo del tipo
≤
k está dada por (1.3).
En las fórmulas anteriores intervienen las siguientes constantes:
π
Aproximadamente 3.141592
e
Aproximadamente 2.718281
x
σ
Parámetro desviación estándar probabilística de x
(variables normales diferentes pueden tener distintas desviaciones
estándar probabilísticas, pero para cada variable normal, su desviación
estándar probabilística es constante).
x
µ
Parámetro media aritmética de probabilística de x
(variables normales diferentes pueden tener distinta medias aritméticas
probabilísticas, pero para cada variable normal su media aritmética
probabilística es constante).
Distribución Normal Estandar o Tipificada
Una variable de experimentación es estándar o
tipificada si su media aritmética probabilística es cero (0) y su desviación
estándar probabilística es uno (1). Si una variable de experimentación x
es normal y tipificada, su función de densidad de probabilidad se denomina
normal estándar o normal tipificada y se ajusta a la fórmula(1.4)
*Curva Normal Tipificada (lo que interesa)
Con el fín de suprimir la individualidad de cada una
de las distribuciones señaladas gráficamente, se convierte a la curva
normal, en un modelo matemático con características fijas y definidas y así se
hace posible el cálculo de probabilidades. Este proceso se conoce con el nombre
de
tipificación de la curva normal.
Para lo cual se supone. a) La media o promedio
de la población es cero
µ
=0b) La desviación estándar igual a uno
c) La variable independiente x, se transforma en un
valor
z.-3 -2 -1 0 1 2 3
Desviación normal estándar (Formulas de utilización)
Fórmulas de cálculo se reproducen a continuación como
las fórmulas (1.5) y (1.6).
Característica de la curva normal tipificada
a)Es simétrica respecto a su media (50% a la derecha y
50% a la izquierda de lamedia)b)El área encerrada es 1 o 100%c)La
media, mediana y moda son iguales
Ejemplo:
1)
En la Universidad del Oeste, la calificación promedio
sobre una escala vigesimalobtenida por un estudiante elegido al azar es una
variable de experimentacióncon media aritmética probabilística 14 y
desviación estándar probabilística 2,cuya distribución de probabilidad se
aproxima a la normal. Estime lasprobabilidades de que una calificación x
escogida al azar sea:
a)≤13 :
b)>13;
c)≤17 ;
d)>17 ;
e)>13
pero≤17 ;
f)≤13 ó >17 ;
g)>15 pero <=17
Solución:
A partir de los datos: a=13; b=17;
x
µ
=14 y
x
σ
=2 se obtiene las siguientes respuestas:
a.
P(x<=13)
caso3
5.021413
−=−=−=
x xa
x z
σ µ
P(x<=13)=P(z<=-0.5)
≈
0.3085
b.
P(x>13
P(x>13)=1-P(x<=13)=1.0-0.3085P(x>13)=0.6915
c.
P(x<=17)
caso1
5.121417
=−=−=
x xc
x z
σ µ
P(x<=17)=P(z<=1.5)
≈
0.9332
d.
P(x>17)
caso2
P(x>17)=1-P(x<=17)=1-0.9332P(x>17)=0.0668
e.
P(13<x<=17)
caso4
5.0
−=
a
z
5.1
=
b
z
P(13< x<=17)=P(-0.5<z<=1.5)P(13< x<=17)=0.9332-0.3085=0.6247
f.
P(x<=13 ó x>17)
caso7
P(x<=13 ó x>17)= P(x<=13)+
P(x>17)P(x<=13 ó x>17)= P(z<=-0.5)+P(x>=1.5)P(x<=13 ó
x>17)= P(z<=-0.5)+1- P(x<=1.5)P(x<=13 ó x>17)=0.3085+1-0.9332P(x<=13
ó x>17)=0.3753
g.
P(15<z<
=17
)
caso5 =
P(z<=17)-P(z<15)=0.9332-0.6914=0.2417
Ejemplo
La capacidad de gasto anual en actividades educativas
de una familia elegidaaleatoriamente de una población universitaria del
departamento de Lima es unavariable de experimentación con media aritmética
probabilística 400 um y desviaciónestándar probabilística 100 um, cuya
distribución de probabilidades es muyaproximada a la normal. Se requiere
estimar el importe tal que exista 88.1% deprobabilidades de que la familia
elegida aleatoriamente gaste como máximo talcantidad.
x
µ
=400
x
σ
=100P(z)=88.1%
=0.8810.881=(x-400)/100X=488.1 Respuesta el importe debe ser <=488.1
PROBLEMAS PROPUESTOS
1)El consumo mensual en um de una persona elegida aleatoriamente
a partir de la poblaciónde un país es una variable normal con media aritmética
probabilística 500 um y desviaciónestándar probabilística 100 um. ¿Cuál es el
nivel tal que exista 76.73% de probabilidad deque dicha variable supere tal
nivel?
500
=
x
µ
100
=
x
σ
z=0.76730.73=(x-500)/100 x=573Respuesta: Para la
variable que sea >= que 573 um
2)
La posición sanguínea sistólica media de hombres de 20
– 24 años de edad es 123 conuna desviación típica de 137 se sabe que la presión
sanguínea se distribuye normalmente.Si se selecciona al azar uno de estos
hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que su presiónsanguínea sea mayores que
139.44P(x>139.44)=P(z>
13712344.139
−
)=P(z>0.12)=P(1-P(z<=0.12)=1-0.5478=0.45223)Del
problema anterior ¿Cuál es la probabilidad de que su presión sanguinea sea
menoresque 110
)137123110()110(
−<=<
z P x P
=P(z<-0.098)=0.4920
4)
Los coeficientes de inteligencia CI de las personas
tienen una distribución aproximada a lanormal con media 100 y desviación
estándar 10. ¿Cuál es la probabilidad que el CI decualquier individuo quede en
el intervalo 100 a 110?
100
=
x
µ
10
=
x
σ
Piden: P(100<x<110)P(100<x<110)=P(
1010011010100100
−<<−
z
)=P(0<z<1)P(0<z)=1-P(z<0)=1-0.5=0.5P(z<1)=0.5398
⇒
0.5398-0.5=0.0398P(100<x<110)=0.03985)Para cierta
prueba la calificación media es 500 y desviación típica 100. Se desea aprobar al
75% de los candidatos que rinden esta prueba. ¿Cuál debe ser la calificación
mínimaaprobatoria?
500
=
x
µ
100
=
x
σ
z=0.75
⇒
25.0
=
c
z
P(
c
z
<
100500
−
x
)=-0.25 = -0.68 por tablax-500=-0.25*100
x=4326)La vida útil de un componente eléctrico tiene una distribución normal con
una media de2000 horas que una desviación estándar de 200 horas. ¿Cuál será la
probabilidad de queun componente elegido al azar dure entre 1800 y
2200?(1800<=x<=2200)= P
−≤≤−
20022002001800
u z u
=P(-1<=z<=1)=P(z<=1)-P(z<=-1)=2(0.84134)-1=0.68268 7)Del
problema anterior ¿Cuál es la vida útil del 90% de los componentes
elécticos?X: Vida útil del complemento electronicoP(x<=A)=P(
200200
−≤
A z
)=0.9
0
Z
28.1200200
=−≤
A
A=22568)Los pesos de los paquetes recibidos en un
almacén tiene una media de 300 libras, con unadesviación Standard de 50. ¿Cuál
es la probabilidad de que 25 paquetes puestos al azar excedan el límite de
seguridad de éste que es de 8200 libras?
Resolucion
Limite superior 8200u=300 n=25
50
=
σ
25-300=7500 Los que se van a poner en el
ascensor
102550
===
n
σ σ
25025*10
==
n
σ
8.225070025075008200
==−=
z
P(z>70)=0.5-0.4974=0.0026La probabilidad que se
rompa es 0.0026
9)
Ciertos focos fabricados por una compañía, tiene una duración
media de 800 horas y unadesviación típica de 60 horas. Hallar la
probabilidad de que una muestra al azar de 16tubos tomada de entre ellos tenga
una duración de entre 790 y 810 horas?.u=800
60
=
σ
1660
=
x
σ
=15
67.015800792
1
−=−=
z
67.015800810
2
=−=
z
P(-0.67<=z<=0.67)=2(0.2486)=0.4972
10)
Del problema anterior hallar la probabilidad de que
una muestra al azar de 16 tubostomada menor de 785 horas.
115800785
−=−=
z
P(z<=-1)=0.5-0..3413=0.1587
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