Distribución hipergeométrica
En teoría de la probabilidad la distribución hipergeométrica es una distribución discreta relacionada conmuestreos aleatorios y sin reemplazo. Supóngase que se tiene una población de N elementos de los cuales, dpertenecen a la categoría A y N-d a la B. La distribución hipergeométrica mide la probabilidad de obtener x (
) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.
) elementos de la categoría A en una muestra sin reemplazo de n elementos de la población original.Propiedades[editar]
La función de probabilidad de una variable aleatoria con distribución hipergeométrica puede deducirse a través de razonamientos combinatorios y es igual a
donde 
es el tamaño de población, 
es el tamaño de la muestra extraída, 
es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y 
es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación 
hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar elementos de un total 
.
es el tamaño de población, es el tamaño de la muestra extraída, es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada y es el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría. La notación hace referencia al coeficiente binomial, es decir, el número de combinaciones posibles al seleccionar elementos de un total .
El valor esperado de una variable aleatoria X que sigue la distribución hipergeométrica es
![E[X]=\frac{nd}{N}](http://upload.wikimedia.org/math/e/d/b/edb7931c237719680795389c71e2ca37.png)
y su varianza,
![Var[X]=\bigg(\frac{N-n}{N-1}\bigg)\bigg(\frac{nd}{N}\bigg)\bigg( 1-\frac{d}{N}\bigg).](http://upload.wikimedia.org/math/9/b/2/9b21150dd51ee2e8e3c219b9d6c67cdd.png)
En la fórmula anterior, definiendo
y
se obtiene
![Var[X]=npq\frac{N-n}{N-1}.](http://upload.wikimedia.org/math/8/4/5/8450776365971ac3ed36f95d91b68b22.png)
La distribución hipergeométrica es aplicable a muestreos sin reemplazo y la binomial a muestreos con reemplazo. En situaciones en las que el número esperado de repeticiones en el muestreo es presumiblemente bajo, puede aproximarse la primera por la segunda. Esto es así cuando N es grande y el tamaño relativo de la muestra extraída, n/N, es pequeño.
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