También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):
- Se puede repetir: como monedas en tu bolsillo (5,5,5,10,10)
- Sin repetición: como números de lotería (2,14,15,27,30,33)
2. Combinaciones sin repetición
- imaginemos que el orden sí importa (permutaciones),
- después lo cambiamos para que el orden no importe.
| El orden importa | El orden no importa |
| 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 | 1 2 3 |
| 16! | = | 16! | = | 20,922,789,888,000 | = 560 |
| 3!(16-3)! | 3!×13! | 6×6,227,020,800 |
| 16×15×14 | = | 3360 | = 560 |
| 3×2×1 | 6 |
| 16! | = | 16! | = | 16! | = 560 |
| 3!(16-3)! | 13!(16-13)! | 3!×13! |
1 14 91 364 ...
1 15 105 455 1365 ...
1 16 120 560 1820 4368 ...
En realidad son las más difíciles de explicar, así que las dejamos para luego.
Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden) ¡entonces has ganado!
La manera más fácil de explicarlo es:
Volviendo a las bolas de billar, digamos que queremos saber qué 3 bolas se eligieron, no el orden.
Ya sabemos que 3 de 16 dan 3360 permutaciones.
Pero muchas de ellas son iguales para nosotros, porque no nos importa el orden.
Por ejemplo, digamos que se tomaron las bolas 1, 2 y 3. Las posibilidades son:
Así que las permutaciones son 6 veces más posibilidades.
De hecho hay una manera fácil de saber de cuántas maneras "1 2 3" se pueden ordenar, y ya la sabemos. La respuesta es:
3! = 3 × 2 × 1 = 6
(Otro ejemplo: 4 cosas se pueden ordenar de 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 maneras distintas, ¡prueba tú mismo!)
Así que sólo tenemos que ajustar nuestra fórmula de permutaciones para reducir por las maneras de ordenar los objetos elegidos (porque no nos interesa ordenarlos):
Esta fórmula es tan importante que normalmente se la escribe con grandes paréntesis, así:
Y se la llama "coeficiente binomial".
Además de los "grandes paréntesis", la gente también usa estas notaciones:
Entonces, nuestro ejemplo de bolas de billar (ahora sin orden) es:
O lo puedes hacer así:
Así que recuerda, haz las permutaciones, después reduce entre "r!"
... o mejor todavía...
¡Recuerda la fórmula!
Es interesante darse cuenta de que la fórmula es bonita y simétrica:
Con otras palabras, elegir 3 bolas de 16 da las mismas combinaciones que elegir 13 bolas de 16.
Puedes usar el triángulo de Pascal para calcular valores. Baja a la fila "n" (la de arriba es n=0), y ve a la derecha "r" posiciones, ese valor es la respuesta. Aquí tienes un trozo de la fila 16:
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